Photogalerie „Die Ästhetik im Chaos“

Mandelbrot dachte darüber nach, wie sich die Komplexität, die er gefunden hatte, besser verstehen und beschreiben ließ. Letztlich löste er das Problem, indem er die klassischen drei Dimensionen Länge, Breite und Tiefe hinter sich ließ und stattdessen etwas nahezu Unvorstellbares einführte: gebrochene Dimensionen. Die neue Geometrie heißt nach dem lateinischen Verb frangere = brechen fraktale Geometrie und sie ist in der Lage, den Grad der Irregularität eines Objekts zu erfassen. Ein kurzer Ausflug in die Geometrie macht klar, was es damit auf sich hat.
Ein Punkt hat keine Länge, keine Breite und keine Höhe, also keine Dimension. Eine Linie besitzt zwar keine Breite und Höhe, dafür aber eine Länge, ist also eindimensional. Eine Fläche weist Länge und Breite auf, aber keine Höhe. Deshalb besitzt sie zwei Dimensionen. Erst der Raum, beispielsweise ein großer leerer Würfel, besitzt zusätzlich zu Länge und Breite auch Höhe und damit alle drei Dimensionen.
Gehen wir einen Schritt weiter. Wir nehmen ein Stück Linie und verdoppeln ihre Länge. Damit haben wir zwei Kopien des Ausgangsstücks. Nun nehmen wir ein Quadrat und multiplizieren seine Länge und Breite mit zwei. Damit erhalten wir vier Kopien. Zuletzt arbeiten wir mit einem Würfel und verdoppeln auch seine Länge, Breite und Höhe, so daß wir acht Kopien erhalten. Dann tragen wir alle gewonnenen Informationen in eine Tabelle ein:

Figur	Dimension	Anzahl d. Kopien
Linie		1		2=21
Fläche		2		4=22
Würfel		3		8=23

Da ergibt sich ein deutliches Muster. Wenn wir die Seiten verdoppeln, um eine selbstähnliche Figur zu erhalten, und die Zahl der Kopien als Potenz zur Zahl zwei aufschreiben, gibt der Exponent die Anzahl der Dimensionen an.
Diese Vorgehensweise können wir nutzen, um die Dimensionalität fraktaler Figuren zu bestimmen. Dazu beginnen wir mit der Ausgangsfigur, beispielsweise dem ursprünglichen gleichseitigen Dreieck der Koch-Kurve und führen den ersten Iterationsschritt aus. Danach haben wir drei Kopien der Ausgangsform, also schreiben wir 3 = 2d, wobei d die Dimension ist. Aber 2 = 21 und 4 = 22, welcher Exponent ist also der richtige? Er muss offensichtlich zwischen eins und zwei liegen. Die richtige Lösung erhalten wir durch die folgende Operation:

log3 / log 2 = 1,585
denn
21,585 = 3

Die Dimension der Koch-Kurve nach der ersten Iteration beträgt also 1,585. Nun kann man sich so eine gebrochene Dimension nicht direkt vorstellen, aber sie entbehrt nicht eines gewissen Sinns. Die Koch-Kurve beispielsweise ist rauher und zerknitterter als eine glatte Linie oder Kurve, die eindimensional ist. Aufgrund dieser Rauheit füllt sie den Raum stärker aus. Aber nicht so stark, wie ein zweidimensionales Quadrat, denn tatsächlich besitzt sie keine Fläche. Aus diesem Grund ist es logisch, daß die Dimension der Koch-Kurve und anderer fraktaler Gestalten nicht ganzzahlig, sondern eben gebrochen ist.

Schönheit und Erhabenheit sind Aspekte der ästhetischen Erfahrung. In technische Begriffe können wir sie mit Universalität und Unendlichkeit übersetzen. Die Natur birgt also grundsätzlich eine ästhetische Erfahrung in sich, weil die Musterbildung in ihr einem universellen Gesetz folgt und sich zu fraktaler Dimensionalität entwickelt. Je höher diese Dimensionalität ist, umso stärker ausgeprägt ist unsere ästhetische Erfahrung. Bis hin zu Kants Gefühl der Erhabenheit.
Dieser Zusammenhang konnte unter Laborbedingungen bestätigt werden. Die Psychologie-Professorinnen Ruth Richards und Christine Kerr zeigten Menschen in den ganzen USA Bilder natürlicher Szenen, Wolken, Küstenansichten und Bäume, jeweils in Paaren mit wenigen und vielen fraktalen Merkmalen. Egal wo sie diesen Test durchführten, die Bilder mit den vielen Fraktalen gewannen immer haushoch, weil sie, wie die Probanden angaben, Gefühle von Frieden, Ruhe, Gelassenheit und Natürlichkeit auslösten. Der zweite Schritt sollte genaueren Aufschluß über den bevorzugten Grad der fraktalen Dimensionalität geben. Deshalb kamen jeweils fünf computergenerierte Bilder unterschiedlicher Komplexität zum Einsatz. In diesem Versuch setzte sich der Trend der Bevorzugung von mehr fraktalen Merkmalen nicht fort. Stattdessen pendelte sich die Mehrzahl der Urteile auf Szenen mittlerer Dimensionalität ein, auf bzw. etwas über dem Wert, den Benoit Mandelbrot der echten natürlichen Welt zugeschrieben hatte. (8)

Die Natur scheint keine Gelegenheit für Verzierungen ausgelassen zu haben. Denk an die Bäume im Winter und die Muster ihrer Zweige vor dem Himmel; wie sich die nackten Äste unter die mächtige Seegrasdecke im ruhigen Wasser ausbreiten. Sie frostüberzogen oder frisch nach einem Schneeschauer zu sehen, ist eine Offenbarung ihrer Schönheit. Im Frühjahr, wenn sie zu knospen beginnen und farbig glühen, erscheinen sie noch mehr als sonst wie Seegras. Und gehst du nah genug heran, um sie voneinander unterscheiden zu können, so besitzen die einzelnen frischen Triebe immer einen ganz eigenen Charakter und dementsprechend besondere Schönheit.

In der Natur ist nichts perfekt und alles ist perfekt. Bäume können auf die merkwürdigsten Arten verzerrt und verbogen sein und sie sind immer noch schön.